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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.

15.

1 1 - x ,         x 0 = 0

Passo 1

Fala galera!!!

O problema nos forneceu a seguinte função:

f x = 1 1 - x

no ponto x 0 = 0 .

Nosso objetivo, é obter a série de Taylor da função dada sobre o ponto  x 0 , e também, determinar o raio de convergência da série.

Passo 2

No livro, podemos encontrar que a série de Taylor de uma função  f x sobre o ponto  x 0 é dada por:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 1 1 ! + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! + f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! + …

Ou seja:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n x 0 n ! x - x 0 n

Passo 3

Tendo em mente o que foi dito acima, vamos calcular os primeiros termos da série de Taylor para a função dada, com o objetivo de encontrar um termo geral que define a série. Assim temos:

f x = 1 1 - x → f x 0 = 1 1 - 0 = 1

f ' x = d d x 1 1 - x = 1 ⋅ - 1 ⋅ - 1 1 - x 2 → f ' x 0 = 1 1 - 0 2 = 1

f ' ' x = d d x - 1 1 - x 2 = 1 ⋅ - 2 ⋅ ( - 1 ) 1 - x 3 → f ' ' x 0 = 1 ⋅ 2 1 - 0 3 = 1 ⋅ 2 = 2

f ' ' ' x = d d x 1 ⋅ 2 1 - x 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ - 3 ⋅ ( - 1 ) 1 - x 4 → f ' ' ' x 0 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1 - 0 4 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

f 4 x = d d x 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1 - x 4 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ - 4 ⋅ ( - 1 ) 1 - x 5 → f 4 x 0 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1 - 0 5 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24

A partir desse ponto podemos ver que os termos da série apresentação um padrão.

Passo 4

Assim, temos que a serie fica da seguinte forma:

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 1 1 ! + f ' ' 0 x - 0 2 2 ! + f ' ' ' 0 x - 0 3 3 ! + f 4 0 x - 0 4 4 ! + …

Substituindo, temos:

f x = 1 + 1 x 1 1 ! + 1 ⋅ 2 ⋅ x 2 2 ! + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x 3 3 ! + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ x 4 4 ! + …

f x = 1 + 1 x 1 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ x 2 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ x 4 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + …

f x = x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + …

Logo, podemos escrever a f x da seguinte maneira:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Assim, a representação da série Taylor para a f x é ∑ n = 0 ∞ x n .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o raio de convergência da série que encontramos acima:

∑ n = 0 ∞ x n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 6

Temos que:

a n = x n

Então:

a n + 1 = x n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 x n = lim n → ∞ ⁡ x ⋅ x n x n = lim n → ∞ ⁡ x = x

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x

Passo 7

Assim, a série de potências converge absolutamente para x < 1 . Ou seja:

x < 1

- 1 < x < 1

A série de potências diverge absolutamente para x > 1

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 1 .

Resposta

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

ρ = 1

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