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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 49

Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de Maclaurin de e x ,   s e n   x ,   t g - 1 x ,   e ln ⁡ ( 1 + x ) .

f x = ln ⁡ ( 4 - x )

Passo 1

E aii, beleza??

Essa questão é bem direta, só pede pra acharmos a série de Maclaurin e o raio de convergência de uma função, e deixou aberta o método de resolução!

Pra gente entender qual a melhor forma de fazer, vamos olhar pra derivada de f ( x ) :

f x = ln ⁡ 4 - x ⇒ f ' x = - 1 4 - x

Percebe que a derivada tem uma cara parecida com uma séria que a gente conhece:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Então a gente vai usar isso:

∫ - 1 4 - x d x = ln ⁡ 4 - x + C

E transformar o que ta dentro da integral em uma série de potência!

Passo 2

Vamos então observar o termo que está dentro da integral:

- 1 4 - x = - 1 4 1 - x 4 = - 1 4 ∙ 1 1 - x 4  

Pra reescrever esse termo dentro dos parênteses vamos usar a série conhecida:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

⇒ 1 1 - x 4 = ∑ n = 0 ∞ x 4 n

Voltando para a integral:

∫ - 1 4 - x d x = - 1 4 ∫ ∑ n = 0 ∞ x 4 n d x = - 1 4 ∫ ∑ n = 0 ∞ x n 4 n d x

Resolvendo a integral:

= 1 4 ∑ n = 0 ∞ x n + 1 4 n ( n + 1 ) + C

Passo 3

Como o resultado dessa integral é ln ⁡ 4 - x :

ln ⁡ 4 - x = - 1 4 ∑ n = 0 ∞ x n + 1 4 n n + 1 + C

= -   ∑ n = 0 ∞ x n + 1 4 n + 1 n + 1 + C  

Substituindo n + 1 por n , o somatório passa a começar em n = 1 e:

⇒ ln ⁡ 4 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n 4 n + C

Fazendo x = 0 , encontramos:

ln ⁡ 4 = C

Logo:

f x = ln ⁡ 4 - x = ln ⁡ 4 - ∑ n = 1 ∞ x n n 4 n  

Passo 4

Falta encontrarmos o raio de convergência da série.

Vamos usar o Teste da Razão:

a n = x n n 4 n

a n + 1 = x n + 1 n + 1 4 n + 1

a n + 1 a n = x n + 1 n + 1 4 n + 1 ∙ n 4 n x n

= x n + 1 x n ∙ 4 n 4 n + 1   ∙ n n + 1

Pelo teste, a série converge para:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 x n ∙ 4 n 4 n + 1   ∙ n n + 1 < 1

lim n → ∞ ⁡ x ∙ 1 4 ∙ n n + 1 = x 4 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1

⇒ x 4 < 1

⇒ x < 4

Então o raio de convergência é R = 4 .

Resposta

f x = ln ⁡ 4 - x = ln ⁡ 4 - ∑ n = 1 ∞ x n n 4 n

R = 4

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