Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 3
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Tudo show, galera? Caneta na mão!
O enunciado pede pra gente definir esta série em convergente ou divergente.
Sei que bateu o desespero por se parecer tão complexa. Por isso vamos usar um outro tipo de comparação: o Teste de Comparação do Limite!
Suponha que seja a série que nos deram, e a série que iremos usar para comparar.
A fórmula é a seguinte:
Se é um número finito e , então ambas as séries tem o mesmo comportamento, ou convergem ou ambas divergem.
Passo 2
Para nossa fórmula da comparação do limite já temos o valor de .
Ao vamos desenvolver uma série para comparar.
A parte dominante do numerador que nos deram foi e a parte dominante do denominador é o . Assim temos:
Simplificando por :
Essa nova série que a gente desenvolveu se parece muito com uma outra série que podemos deduzir, uma p-série!
O expoente é , portanto sei que esta p-série é convergente.
Passo 3
Basta agora nós aplicarmos a fórmula e desenvolver.
Fatorando no denominador e simplificando:
Calculando o limite:
Lembrando que tende a zero, então:
Veja que, se o resultado do limite deu um valor finito e positivo, a gente pode fazer a comparação.
E, analisando que a p-série utilizado como é convergente, logo a série dada na questão também só pode ser convergente!