Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 15
Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Sabemos que , então para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.
Passo 2
Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo esta uma integral indefinida.
Mas podemos integrar utilizando o método de substituição de variáveis:
Seja: , temos que , então o resultado dessa integral é:
Mas então:
Já o termo , podemos utilizar o método de integração por partes:
Se , então e se então , desta forma o resoltado da integral é:
Portanto o resultado da integral é:
Onde .
Passo 3
Para encontrar o valor da constante C, podemos utilizar a condição incial dada pelo problema, . Isso nos diz que .
Vamos aplicar esta condição inicial no resultado que obtemos após as integrações.
Passo 4
Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após as integrações, encontramos a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial .