Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 5
Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.
5. Equação diferencial:
Condição inicial:
Candidata à solução:
Passo 1
Nesse tipo de problema, galera, o que precisamos fazer é encontrar quanto vale . Ok, mas para que encontrar ? Uma vez encontrado, precisamos substituir seu valor lá na equação diferencial que nos foi dada, que é essa aqui:
Após escrevermos a equação diferencial com substituído, o que devemos fazer é aplicar o ponto (valor inicial) para vermos se realmente bate o resultado! Ficou confuso? Bora começar a resolver pra facilitar descomplicar isso aí!
Para derivarmos , devemos utilizar a regra do produto:
No qual:
Aqui vale ressaltar que para descobrirmos utilizamos a regra da derivada de uma função exponencial. Já para descobrirmos , utilizamos a fórmula da derivada do arco tangente, que já é uma derivada tabelada, ok? Caso ainda não tenha ficado claro essas derivações, uma sugestão muito interessante é dar uma olhada lá no capítulo 5 do George, beleza? Bora lá!
Passo 2
Agora que temos e , basta substiturimos lá na regra do produto, olha só:
Agora que descobrimos , vamos substituir lá na equação diferencial, olha só:
Passo 3
Agora que provamos que é realmente solução da equação diferencial, podemos testar se ela também é para o valor inicial dado, olha só:
C.Q.D.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)