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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 8

Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.

8. Equação diferencial: x 2 y ' = x y - y ²

Condição inicial: y e = e

Candidata à solução: y = x ln ⁡ x

Passo 1

Nesse tipo de problema, galera, o que precisamos fazer é encontrar quanto vale y ' . Ok, mas para que encontrar y ' ? Uma vez encontrado, precisamos substituir seu valor lá na equação diferencial que nos foi dada, que é essa aqui:

x 2 y ' = x y - y ²

Após escrevermos a equação diferencial com y ' substituído, o que devemos fazer é aplicar o ponto (valor inicial) para vermos se realmente bate o resultado! Ficou confuso? Bora começar a resolver pra facilitar descomplicar isso aí!

Para derivarmos y , devemos utilizar a regra do quociente:

y ' = u ' . v - u . v ' v 2

No qual:

u = x

u ' = 1

v = ln ⁡ x

v ' = 1 x

Passo 2

Agora que temos u ' e v ' , basta substituirmos lá na regra do quociente, olha só:

y ' = 1 . ln ⁡ x - x . 1 x ln ⁡ x 2

Agora que descobrimos y ' , vamos substituir lá na equação diferencial, olha só:

x 2 y ' = x y - y ²

x 2 . 1 . ln ⁡ x - x . 1 x ln ⁡ x 2 = x . x ln ⁡ x - x ln ⁡ x 2

x 2 ln ⁡ x - x 2 ln ⁡ x 2 = x 2 ln ⁡ x - x 2 ln ⁡ x 2

∴ - x 2 ln ⁡ x 2 = - x 2 ln ⁡ x 2

Passo 3

Agora que provamos que y é realmente solução da equação diferencial, podemos testar se ela também é para o valor inicial dado, olha só:

y e = e

y = e ln ⁡ e

∴ y = e

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.18. d L d t = K L 2 ln ⁡ t L 1 = - 1