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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 9

Para todo a>0, o gráfico de y=f(x) intercepta ortogonalmente a curva x 2 + 2 y 2 = a . Determine f sabendo que f(1)=2

Passo 1

Temos que achar a função f(x) de modo que ela seja ortogonal a curva

Passo 2

Para achar f(x) temos que satisfazer a ortogonalidade com a curva dada, para isto temos que derivar implicitamente

2 x + 4 y y ’ = 0

O que nos da:

d y d x = - x 2 y

Então quer dizer que a inclinação das trajetórias ortogonais a essa curva, vão possuir inclinação dada como:

d y d x = 2 y x

Então arrumando os termos:

1 y d y = 2 x d x

Integrando dos dois lados:

ln ⁡ ( y ) = 2 ln ⁡ x + c 1

ln ⁡ ( y ) = ln ⁡ x 2 + c 1

Logo:

e ln ⁡ y = e ln ⁡ x 2 + c 1

y = e ln ⁡ x 2 e c 1

y = x 2 e c 1

Para f ( 1 ) = 2 :

2 = 1 2 e c 1

2 = e c 1

Portanto:

y = 2 x 2

Resposta

y = 2 x 2

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Determine, caso existam, as soluções constantes.5 . (d x)/(d t) = (t^2 - 1)/(x)
Determine, caso existam, as soluções constantes.1 . (d x)/(d t) = t x^2