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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 14

Encontre a solução para a equação diferencial que satisfaça as condições iniciais dadas

x + 3 y 2 x 2 + 1 d y d x = 0    

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

x + 3 y 2 x 2 + 1 d y d x = 0    

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for y vai para um lado, tudo que for x vai para o outro.

x + 3 y 2 x 2 + 1 d y d x = 0    

3 y 2 x 2 + 1 d y d x =   - x

3 y 2   d y = - x x 2 + 1     d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ 3 y 2   d y   = ∫ - x x 2 + 1     d x

Do lado esquerdo temos uma integral bem tranquilinha

∫ 3 y 2   d y  

= y 3

Do lado direito que vamos precisar utilizar um pouco mais de nossos conhecimentos de calculo. Pois vamos precisar fazer uma substituição. A melhor maneira de fazer uma substituição é selecionar sempre a função que esta dentro da raiz:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

x d x = d u 2

Então ficamos com :

∫ - x x 2 + 1     d x

-   ∫ 1 2 u d u  

=   - u

Prontinho, resolvemos essa integral. Agora temos que voltar de u → x

=   - x 2 + 1

Beleza! Agora podemos unir essas duas partes

y 3 =   -   x 2 + 1

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C.

y 3 =   -   x 2 + 1 + C

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y 0 = 1

y 3 =   -   x 2 + 1 + C

1 =   -   1 + C

C = 2

Então podemos escrever nossa função como

y 3 =   -   x 2 + 1 + 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y 3 =   -   x 2 + 1 + 2

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