Um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao produto da fração da população que ouviu o boato pela fração que não ouviu o boato.

(a) Escreva uma equação diferencial que seja satisfeita por .

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Uma cidade pequena tem habitantes. Às horas, pessoas tinham ouvido o boato. Ao meio-dia, metade da cidade tinha ouvido o boato. A que horas da população terá ouvido o boato?

(b) Agora a gente resolve a equação diferencial. Ela é separável, não parece ser tão difícil de resolver, mas facilitamos ainda mais a nossa vida quando percebemos que ela é uma equação diferencial logística:

cuja resolução nos dá:

Comparando as duas equações, temos que, no caso do boato, . Então nossa resolução fica assim, ó:

(c) Agora a gente tem uma situação de boato numa cidade com habitantes. Sabemos que pessoas já tinham ouvido o boato às da manhã. Isso é equivalente a dizer, nesse horário inicial, tínhamos uma fração de pessoas que ouviram o boato. Vamos usar isso de uma vez pra calcular :

Também temos a informação de que às horas, era a fração de pessoas que já tinham ouvido o boato. Vamos usar isso pra calcular a constante , lembrando que é medido em horas passadas a partir de h. Então:

Agora sim estamos prontos pra responder a que horas da população já tinha ouvido o boato! Vamos isolar na equação , beleza?

Isso nos dá o seguinte horário exato: