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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 12

Os biólogos colocaram em uma lago 400 peixes e estimaram a capacidade de suporte (a população máxima de peixes daquela espécie no lago) como 10000 . O número de peixes triplicou no primeiro ano.

(a) Presumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a equação logística, encontre uma expressão para o tamanho da população depois de t anos.

(b) Quanto tempo levará para a população aumentar para 5000 ?

Passo 1

(a) Ei, galera! A gente precisa aqui encontrar uma expressão pra P t , o tamanho da população de peixes depois de t anos, e o modelo logístico nos dá:

P t = K 1 + C e - k t   ,       C = K - P 0 P 0

O enunciado nos deu o valor da capacidade de suporte K = 10000 e da população inicial P 0 = 400 .   Então:

C = 10000 - 400 400 = 24

Agora, pra descobrir o valor de k , podemos usar a informação de que o número de peixes triplicou no primeiro ano, ou seja, P 1 = 3   .   400 = 1200 , beleza?

P 1 = 1200 = 10000 1 + 24   e - k   .   1

1 + 24   e - k = 25 3

e - k = 22 3   .   24 = 11 36

Para trabalharmos com números exatos, é melhor substituir e - k   do que k na expressão de P t ,   olha só:

P t = 10000 1 + 24   e - k t

P t = 10000 1 + 24 11 36 t

Passo 2

(b) Quanto tempo será que demora pra população de peixes se tornar 5000 ? Como temos a expressão de P t , podemos isolar t na equação P t = 5000 , bora lá?

P t = 5000 = 10000 1 + 24 11 36 t

1 + 24   11 36 t = 2

11 36 t = 1 24

Agora é só aplicar o logaritmo nos dois lados, lembrando que o t vai “descer”:

t ln ⁡ 11 36 = ln ⁡ 1 24

t = ln ⁡ 1 24   ln ⁡ 11 36 ≈ 2,68   a n o s

Resposta

(a) P t = 10000 1 + 24 11 36 t

(b) 2,68   a n o s

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