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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 17

Considere um oscilador satisfazendo o problema de valor inicial

u ' '   + w 2 u = 0 ,       u 0 = u 0 ,         u ' 0 = v 0 .

a)Sejam x 1 = u , x 2 =u’ e coloque as equações i na forma:

x ' = A x ,           x 0 = x 0

b)Usando a série (23), mostre que:

exp ⁡ A t = I c o s   ω I + A s e n   ω t ω

c)Encontre a solução do problema de valor inicial ( i i ) .

Passo 1

a)Substituindo as variáveis na equação do oscilador:

x 1 = u

x 2 = u '

E temos que u ' ' = x 2 ' , pois se x 2 é igual aprimeira deriava de u por consequência u ' ' = x 2 ' .

Reescrevendo a equação com as novas variáveis temos:

x 2 ' + ω 2 x 1 = 0

Com as condições iniciais podemos escrever o sistema equivalente de primeira ordem:

x 1 0 = u 0

x 2 0 = v 0

Temos que:

x 1 ' = x 2

x 2 ' = - ω 2 x 1

E podemos escrever na forma matricial:

x 1 x 2 ' = 0 1 - ω 2 0 x 1 x 2

Ou:

x 1 0 x 2 0 - u 0 v 0

Passo 2

b) Temos que A é:

A = 0 1 - ω 2 0

E podemos notar que:

A 2 = - ω 2 I

A 3 = - ω 2 A

E

A 4 = ω 4 I

Portanto, podemos generalizar este tipo de relação:

A 2 k = - 1 k ω 2 k I

E analogamente se somarmos + 1 a k temos:

A 2 k + 1 = - 1 k ω 2 k A

Assim podemos utilizara definição da exponencial de matriz:

exp ⁡ B = e B = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! B n

Aplicando a nossa generalização temos que:

e A t = ∑ n = 0 ∞ - 1 k ∙ ω 2 k t 2 k 2 k ! I + - 1 k ω 2 k t 2 k + 1 2 k + 1 ! A

e A t = ∑ n = 0 ∞ - 1 k ∙ ω 2 k t 2 k 2 k ! I + 1 ω ∑ n = 0 ∞ - 1 k ω 2 k t 2 k + 1 2 k + 1 ! A

Portanto:

exp ⁡ A t = I c o s   ω I + A s e n   ω t ω

Passo 3

c) Temo que a equação 28 é definida por:

x = exp ⁡ A t x 0

Temos:

x 1 x 2 = cos ⁡ ω   t I + 1 ω s e n   ω   t A u 0 v 0

Efetuando a distributiva temos:

x 1 x 2 = cos ⁡ ω t u 0 v 0 + 1 ω s e n   ω t   v 0 - ω 2 u 0

Resposta

a)

x 1 x 2 ' = 0 1 - ω 2 0 x 1 x 2

b) e A t = ∑ n = 0 ∞ - 1 k ∙ ω 2 k t 2 k 2 k ! I + 1 ω ∑ n = 0 ∞ - 1 k ω 2 k t 2 k + 1 2 k + 1 ! A

c) x 1 x 2 = cos ⁡ ω t u 0 v 0 + 1 ω s e n   ω t   v 0 - ω 2 u 0

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