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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 10

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

2 y ' ' + 2 y ' + 1 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

2 x 2 + 2 x + 1 = 0

Sendo: a = 2 ,   b = 2 ,   c = 1 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 2 ± 2 2 - 4 . 2.1 2 . 2

x = - 2 ± 4 - 8 2.2

x = - 2 ± - 4 4

x = 2 ± 2 i 4

x ' = - 2 + 2 i 4 = - 1 2 + 1 2 i ,     x ' ' = - 2 - 2 i 4 = - 1 2 - 1 2 i

Passo 2

Como ∆ < 0 , a solução é:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β t + C 2 sen ⁡ β t )

Substituindo os valores das raízes:

y = e - 1 2 t   ( C 1 cos ⁡ 1 2   t + C 2 sen 1 2 ⁡ t )

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e - t 2 cos ⁡ t 2 + C 2 e - t 2 sen ⁡ t 2

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