Um circuito um série tem um capacitor de 0,25 × 10 - 6 F e um indutor de 1 H . Se a carga inicial no campacitor for de 10 - 6 C e se não houver corrente inicial, encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante t .

Passo 1

Equacionando nosso problema, temos que a relação entre carga Q e a corrente I é dada por

I = d Q / d t

Assim chegamos que pela lei de Kirchhoff

L d I d t + R I + 1 C Q = E ( t )

Olhar Eq.(31) e (32)

Substtituindo uma na outra, temos

L Q ' ' + R Q ' + 1 C Q = E ( t )

Nossa equação diferencial

Passo 2

Vamos lá!!!

Pelo que nos contaram até agora, não há resistência em nosso circuito e além disso, temos E t = 0

Assim temos

Q ' ' + 4 × 10 6 Q = 0

E como já estamos meios cansados, temos que

Q = A cos ⁡ 2 × 10 3 t + B   s e n   ( 2 × 10 3 t )

E sua derivada

Q ' = - A   s e n   2 × 10 3 t + B cos ⁡ 2 × 10 3

Temos como condições iniciais que

Q 0 = 10 - 6 C Q ' 0 = 0

Assim

A = 10 - 6 B = 0

E assim temos

Q ( t ) = 10 6 cos ⁡ 2 × 10 3 t

Resposta

Q ( t ) = 10 6 cos ⁡ 2 × 10 3 t

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