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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 53

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 + 3 + … + n

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Vamos começar reescrevendo essa sequência que é uma progressão aritmética com a razão de 1:

∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 + 3 + … + n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 n ( n + 1 )

Passo 2

Agora sim iremos aplicar nosso teste.

Vamos fazer o teste da comparação limite com a série 1 / n 2 :

2 n ( n + 1 ) 1 / n 2   = l i m n → ∞ 2 n n + 1

Agora derivamos para simplificar:

l i m n → ∞ d d n 2 n d d n (   n + 1 ) = l i m n → ∞ 2 1 = 2

Portanto, a série é convergente, pois 1 / n 2 é uma série convergente.

Bora que bora.

Resposta

Convergente

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