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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 42

Encontre a soma de cada série nos exercícios 41-48. ∑ n = 1 ∞ 6 2 n - 1 ( 2 n + 1 )

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Cálculo, vamos lá?Primeiramente, precisamos entender que estamos lidando com somatórios da série, logo, de certa forma é algo que nos dará bastante trabalho. Entretanto, não existe um jeito “certo” de realizar todos os cálculos, cada exercício exigirá uma especificidade.Mas, chega de enrolação e vamos lá para os exercícios, preste bem atenção na resolução, volto a repetir, não existe apenas uma maneira de realizar o exercício.

Passo 2

Agora vamos montar a série, vem comigo! ∑ n = 1 ∞ 6 2 n - 1 ( 2 n + 1 )

Para resolvermos a série, vamos abrir o seu somatório e logo em seguida realizar uma mudança de variável e por fim, tomar o limite para que possamos encontrar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos resolver a série, chega aí!

∑ n = 1 ∞ 6 2 n - 1 2 n + 1 Vamos abrir o seu somatório e realizar a mudança de variável, logo em seguida: s k = 6 2 n - 1 2 n + 1 =   A 2 n - 1 - B 2 n + 1 = A 2 n + 1 + B 2 n - 1 ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 s k = A 2 n + 1 + B 2 n - 1 = 6 s k = 2 A + 2 B n + A - B = 6 2 A + 2 B = 0 A - B = 6 → A + 2 = 0 A - B = 6 A = 6 ; B = - 3 s k = ∑ n = 1 k 6 2 n - 1 2 n + 1   s k = 3 ∑ n = 1 k 1 2 n - 1 - 1 2 n + 1 s k = 3 1 1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + … - 1 2 k - 1 + 1 + 1 2 k - 1 - 1 2 k + 1 s k = 3 1 - 1 2 k + 1 Encontrando esse resultado, agora iremos tomar o limite em função de s k . lim k → ∞ ⁡ s k lim k → ∞ ⁡ 3 1 - 1 2 k + 1 l i m k → ∞ = 3 Questão resolvida!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

3

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