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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 29

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n 2 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste de Comparação no Limite.

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n 2 n

Vamos assumir que

a n = 1 n - 1 n 2   e   b n = 1 n

Antes, vamos fazer um pequeno ajuste:

a n = 1 n - 1 n 2 = n - 1 n 2

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n 2 1 n = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n 2 × n = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n

lim n → ∞ ⁡ n - 1 n = 1

Pelo que achamos, as duas sérias ou vão convergir ou divergir juntas. Para sabermos, vamos ter verificar pela segunda série.

Como 1 n é uma p - s é r i e com expoente igual a 1, ela diverge.

Resposta

C o n v e r g e .

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