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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 89

Encontre uma substituição que possa ser usada para integrar uma função racional de s e n h   x e c o s h   x e a use para calcular

∫ d x 2 cosh ⁡ x + s e n h   x

sem expressar a integral em termos de e x e e - x .

Passo 1

O que o enunciado pede é que a gente ache uma receitinha de bolo para integrar essas funções hiperbólicas, assim com a gente tem a substituição u = t g x 2 para as funções trigonométricas.

Podemos fazer algo semelhante e tentar a substituição:

u = t gh ⁡ x 2

Precisamos chegar numa expressão para d x , s e n h   x   e cosh ⁡ x   a partir desse u . Vamos começar!

Passo 2

Podemos dizer que:

cosh ⁡ x 2 = 1 sech ⁡ x 2

Mas lembra que:

1 - t g h 2   x 2 = sech 2 ⁡ x 2 ∴ sech ⁡ x 2 = 1 - t g h 2 x 2

Substituindo

cosh ⁡ x 2 = 1 sech ⁡ x 2 = 1 1 - t g h 2 x 2 = 1 1 - u 2

Agora vamos olhar para o seno hiperbólico:

t g h   x 2 = s e n h x 2 cosh ⁡ x 2 ∴ s e n h x 2 = cosh ⁡ x 2 t g h   x 2

Substituindo o que a gente tem até agora:

s e n h x 2 = 1 1 - u 2 ⋅ u = u 1 - u 2

Achamos expressões para seno e cosseno, mas o argumento ainda está dividido por 2 . Não vamos poder parar aqui.

Passo 3

Vamos usar outras identidades para deixar esse argumento com o x sozinho. Para o seno:

s e n h   x = 2   s e n h   x 2 cosh ⁡ x 2 = 2 ⋅ u 1 - u 2 ⋅ 1 1 - u 2

s e n h   x = 2 u 1 - u 2

Agora vamos para o cosseno:

cosh ⁡ x = cosh 2 ⁡ x 2 + s e n h 2 x 2 = 1 1 - u 2 2 + u 1 - u 2 2

cosh ⁡ x = 1 + u 2 1 - u 2

Uhul! Conseguimos as expressões de cosseno e seno.

Passo 4

Precisamos de uma expressão para d x . Sabemos que:

u = t g h   x 2 ∴ x = 2 a r c   t g h   u

Derivando:

d x d u = 2 1 - u 2

Logo,

d x = 2 d u 1 - u 2

Passo 5

Com todas as expressões da nossa receitinha pronta, é só substituir tudo na integral e calcular. Temos que:

d x = 2 d u 1 - u 2

s e n h   x = 2 u 1 - u 2

cosh ⁡ x = 1 + u 2 1 - u 2

A integral fica:

∫ d x 2 cosh ⁡ x + s e n h   x = ∫ 1 2 1 + u 2 1 - u 2 + 2 u 1 - u 2 ⋅ 2 d u 1 - u 2 =

= ∫ 1 - u 2 2 + 2 u 2 + 2 u ⋅ 2 d u 1 - u 2 = ∫ d u 1 + u 2 + u

Passo 6

Agora é calcular:

∫ d u u 2 + u + 1

Vamos completar quadrados e reescrever o denominador:

u 2 + u + 1 = u + 1 2 2 - 1 4 + 1 = u + 1 2 2 + 3 4

∫ 1 u + 1 2 2 + 3 4 d u

Agora vamos usar a substituição:

t = u + 1 2

d t d u = 1 ∴ d u = d t

∫ 1 u + 1 2 2 + 3 4 d u = ∫ 1 t 2 + 3 4 d t

Podemos usar a fórmula 68, com a 2 = 3 4 :

∫ 1 t 2 + 3 4 d t = 2 3 a r c   t g 2 t 3 + C = 2 3   a r c   t g 2 u + 1 3 + C

Voltando para x :

∫ d x 2 cosh ⁡ x + s e n h   x = 2 3   a r c   t g 2   t g h   x 2 + 1 3 + C

Resposta

d x = 2 d u 1 - u 2

s e n h   x = 2 u 1 - u 2

cosh ⁡ x = 1 + u 2 1 - u 2

∫ d x 2 cosh ⁡ x + s e n h   x = 2 3   a r c   t g 2   t g h   x 2 + 1 3 + C

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