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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 70

Calcule a integral abaixo:

int (sqrt(s e n^(- 1) (x)))/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int (sqrt(s e n^(- 1) (x)))/(sqrt(1 - x^2)) d x u = s e n^(- 1) ( x ) d u = (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int sqrt(u) d u = int u^((1)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int u^((1)/(2)) d u = (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(2)/(3) ( s e n^(- 1) (x) )^((3)/(2)) + C

Resposta

(2)/(3) ( s e n^(- 1) (x) )^((3)/(2)) + C

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