Enunciado

Calcule a integral abaixo:

int ((t g^(- 1) (x))^2)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int ((t g^(- 1) (x))^2)/(1 + x^2) d x u = t g^(- 1) ( x ) d u = (1)/(1 + x^2) d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int u^2 d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int u^2 d u = (u^3)/(3) + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

((t g^(- 1) (x))^3)/(3) + C

Resposta

((t g^(- 1) (x))^3)/(3) + C

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