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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 78

Calcule a integral definida abaixo:

int_1^4 ((1 + sqrt(u))^((1)/(2)))/(sqrt(u)) d u

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(u) por uma variável simples (v) e que resulte em um dv=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_1^4 ((1 + sqrt(u))^((1)/(2)))/(sqrt(u)) d u v = 1 + sqrt(u) d v = (1)/(2 sqrt(u)) d u => 2 d v = (1)/(sqrt(u)) d u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_1^4 2 v^((1)/(2)) d v = 2 int_1^4 v^((1)/(2)) d v

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

2 int_1^4 v^((1)/(2)) d v = 2 ((v^((3)/(2)))/((3)/(2))) (4)/(1) = (4)/(3) (v^((3)/(2))) (4)/(1)

Passo 4

Substituindo v pela função que atribuímos, temos:

(4)/(3) [(1 + sqrt(u))^((3)/(2))] (4)/(1)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

= (4)/(3) [(1 + sqrt(u))^((3)/(2))] (4)/(1) = (4)/(3) [ (1 + sqrt(4))^((3)/(2)) - (1 + sqrt(1))^((3)/(2)) = (4)/(3) [3 sqrt(3) - 2 sqrt(2)]

Resposta

(4)/(3) [3 sqrt(3) - 2 sqrt(2)]

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