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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 68

Calcule a integral.

int (x^2)/(x^6 + 3 x^3 + 2) d x

Passo 1

Para resolvermos esse integral vamos começar fatorando o denominador. Vem comigo!

x^6 + 3 x^3 + 2

Repara que isso é uma equação do segundo grau em x^3 :

(x^3)^2 + 3 x^3 + 2

Então as raízes ficam o seguinte:

x^3 = (- 3 +- sqrt(9 - 4 * 1 * 2))/(2 * 1)

Fazendo as contas, as raízes ficam:

- 2 e - 1

Fatorando:

x^6 + 3 x^3 + 2 = (x^3 + 1) (x^3 + 2)

Passo 2

Reescrevendo nossa integral:

I = int (x^2)/((x^3 + 1) (x^3 + 2)) d x

Agora bora fazer a seguinte substituição:

u = x^3 + 1

Derivando,

d u = 3 x^2 d x -> x^2 d x = (1)/(3) d u

E colocarmos a integral em termos de u :

I = int (1)/(u (u + 1)) ((1)/(3) d u)

Tirando as constantes:

I = (1)/(3) int (1)/(u (u + 1)) d u

Passo 3

Separando em frações parciais:

(1)/(u (u + 1)) = (1)/(u) - (1)/(u + 1)

Assim,

I = (1)/(3) int ((1)/(u) - (1)/(u + 1)) d u

Isto é,

I = (1)/(3) int (1)/(u) d u - (1)/(3) int (1)/(u + 1) d u

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Integrando:

I = (1)/(3) ln |u| - (1)/(3) ln |u + 1| + k

Não esquece da constante em!! Voltando para variável x :

I = (1)/(3) ln |x^3 + 1| - (1)/(3) ln |x^3 + 2| + k

Resposta

I = (1)/(3) ln |x^3 + 1| - (1)/(3) ln |x^3 + 2| + k

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