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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 75

Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade

1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1

Passo 1

Para resolvermos essa integral, vamos transformá-la no limite do somatório:

∫ 1 2 x - 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

O nosso x i é dado por x i = 1 + i n assim como x i - 1 = 1 + i - 1 n , então a sua média geométrica é dada por:

x i * = x i - 1 x i = x i * = 1 + i - 1 n 1 + i n

Se temos n intervalos ente x = 2 e x = 1 temos que Δ x = 2 - 1 n = 1 n .

Passo 2

Logo, o limite fica como sendo:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 1 + i - 1 n 1 + i n 1 n   =

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i - 1 n 1 + i n 1 n   =

lim n → ∞ ⁡ 1 n   ∑ i = 1 n 1 n + i - 1 n n + i n =

lim n → ∞ ⁡ n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i n + i

Passo 3

Pela identidade dada no enunciado:

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i - 1 n + i

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i - ∑ i = 1 n 1 n + i

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   1 n + 1 n + 1 + … + 1 2 n - 1 - 1 n + 1 + … + 1 2 n - 1 + 1 2 n

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   1 n - 1 2 n

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 2

Logo:

∫ 1 2 x - 2 d x = 1 2

Resposta

∫ 1 2 x - 2 d x = 1 2

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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f ( x ) for côncava para baixo no intervalo ( a , b ) , então a aproximação trapezoidal T n subestima ∫ a b f ( x ) d x .
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A aproximação pelo ponto médio M n , é a média das aproximações pelas extremidades esquerda L n e direita R n .
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 4 ∫ 0 2 sen ⁡ x d x
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 6 ∫ 0 31 3 x + 1 d x