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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 10

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.

Exercício 4

∫ 0 2 sen ⁡ x d x

Passo 1

A ideia aqui é estimar esse limitante superior para erro pelas fórmulinhas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Só usar uma para cada letra do enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Na parte do (a) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método do ponto médio. Então a gente precisa calcular:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = sen ⁡ x

Derivando duas vezes:

f ' x = c o s   x ,   f ' ' ( x ) = - sen ⁡ x  

Dentro do intervalo 0 , 2 , o maior valor em módulo de seno é 1 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' π 2 = 1  

Passo 3

Como queremos estimar o erro máximo de M 10 , n = 10 ,   a = 0 e b = 2 . Nossa fórmulinha fica:

E M ≤ 2 - 0 3 1 24 ⋅ 10 2

Logo:

E M ≤ 0 , 00 333

Passo 4

Na parte do (b) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método trapezoidal. Então a gente precisa calcular:

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 1

Como queremos estimar o erro máximo de T 10 , n = 10 ,   a = 0 e b = 2 . Nossa fórmulinha fica:

E T ≤ 2 - 0 3 1 12 ⋅ 10 2

Logo:

E T ≤ 0,00 667

Passo 5

Na parte do (c) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método de Simpson. Então a gente precisa calcular:

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' ( x ) = - sen ⁡ x

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ,   f 4 x = s e n   x  

Dentro do intervalo 0 , 2 , o maior valor de seno é 1 . Aí vemos que:

K 4 = f 4 π / 2 = 1  

Passo 6

Como queremos estimar o erro máximo de S 20 , n = 20 ,   a = 0 e b = 2 . Nossa fórmulinha fica:

E S ≤ 2 - 0 5 1 180 ⋅ 2 0 4

Logo:

E S ≤ 1,111 ⋅ 10 - 6

Resposta

E M ≤ 0,00 333

E T ≤ 0,00667

E S ≤ 1,111 ⋅ 10 - 6

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