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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 3

Avalie a integral.

int_1^4 sqrt(y) ln y d y

Passo 1

Essa é bem simples!! Vamos apenas usar o método de integração por partes e depois aplicar os intervalos, na seguinte forma:

u = ln y d u = (1)/(y) d y

d v = sqrt(y) d y v = (2)/(3) y sqrt(y)

Agora é só aplicarmos!!

Passo 2

Aplicando o método:

int u d v = u v - int v d u

int_1^4 sqrt(y) ln y d y = [(2 y sqrt(y))/(3) xx ln y]_1^4 - int_1^4 (2 y sqrt(y))/(3) xx (1)/(y) d y

Organizando as integrais e resolvendo:

int_1^4 sqrt(y) ln y d y = [(2 y sqrt(y))/(3) xx ln y]_1^4 - (2)/(3) int_1^4 sqrt(y) d y

= [(2 y sqrt(y))/(3) xx ln y]_1^4 - (2)/(3) int_1^4 sqrt(y) d y

= [(2 y sqrt(y))/(3) xx ln y]_1^4 - (2)/(3) [(2 y sqrt(y))/(3)]_1^4

= (2)/(3) [y sqrt(y) xx ln y]_1^4 - (4)/(9) [y sqrt(y)]_1^4

Nosso resultado será:

= (2)/(3) [16 ln 2] - (4)/(9) [7]

int_1^4 sqrt(y) ln y d y = (32)/(3) ln 2 - (28)/(9)

Prontinho!!

Resposta

int_1^4 sqrt(y) ln y d y = (32)/(3) ln 2 - (28)/(9)

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