Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 71
Encontre . Sugestão: Escolha como a média geométrica de e (isto é, ) e use a identidade
Passo 1
Vamos lá, pessoal! Temos que calcular a integral definida . Para isso, vamos seguir as sugestões:
- Escolher como a média geométrica de e (isto é, ).
- Usar a identidade:
Vamos precisar usar a definição de integral como sendo o limite da soma de Riemann! Não lembra? Não tem problema, só precisamos saber que:
- Consideramos o intervalo dividido em intervalos de comprimento .
- Escolhemos pontos em cada um dos subintervalos.
- Calculamos a integral, que é dada pelo limite
Mas como essas sugestões nos ajudam a resolver o problema? Vamos vendo aos poucos. Faremos a solução por passos menores, onde iremos:
- Dividir o intervalo em subintervalos e escolher pontos usando a média geométrica sugerida.
- Usar a soma de Riemann para aproximar a integral.
- Simplificar a soma usando a identidade fornecida e calcular o limite.
Pra facilitar o nosso trabalho, vamos detalhar cada um desses pontos nos próximos passos da resolução.
Passo 2
Começamos dividindo o intervalo em subintervalos de comprimento
Para escolhermos precisamos saber quais são os extremos de cada subintervalo!
Pensa assim: A partir do primeiro número do intervalo , “andamos” vezes o comprimento e chegamos ao fim do subintervalo . Mas como expressamos matematicamente isso?
Bem, considerando o valor de , os pontos extremos dos subintervalos são da seguinte forma:
Sabendo disso, precisamos escolher os pontos para cada um dos subintervalos e, para isso, vamos seguir a sugestão do problema 😊.
A ideia é usar a média geométrica dos pontos extremos e de cada intervalo. Isso quer dizer o seguinte:
Guarda essa informação porque já já vamos precisar dela, beleza?
Passo 3
Escrevendo a soma de Riemann para a função , temos:
Já sabemos que e que
Substituindo na função, temos
Tudo bem até aqui? Pode dar uma respirada antes de continuarmos. Bem, substituindo e a igualdade anterior no somatório, ficamos com
Para facilitar, vamos simplificar os termos do somatório a direita para
melhor ainda
Simplificando mais uma vez, podemos escrever o termo inicial de uma forma vantajosa para as nossas contas (no próximo passo vai ficar claro)
Para fechar esse passo, vamos simplificar mais uma vez a soma de Riemann (agora colocando o em evidência)
Ufa, 🤯! Fica tranquilo que estamos no caminho certo! Vamos continuar e ver como essas simplificações e os demais passos nos ajudam a resolver a integral procurada.
Passo 4
Agora é o momento de usarmos a segunda parte da sugestão! Fica atento para você não perder nenhum detalhe. Como
então se a gente escolher , vamos ter também que , confere? Além disso, para esse escolhido, a identidade se torna:
Substituindo na expressão para a soma de Riemann que obtivemos no passo anterior:
No que isso vai nos ajudar? Espia só o próximo passo.
Passo 5
A soma
é uma soma telescópica! Nome engraçado, né? Mas o que é isso? Você pode se aventurar no nosso site e procurar mais sobre elas.
Por agora, vamos escrever essa tal de soma telescópica por extenso e conferir como ela vai nos ajudar a resolver o problema.
onde os termos são dados por:
Saca só:
e
Presta atenção no padrão: os termos com sinal negativo vão cancelar com os termos com sinal positivo (com exceção do último). Ou seja, só o primeiro e o último termo não se cancelam!
Se não conseguiu perceber, sem problemas. Tente fazer mais alguns casos antes de generalizar. Por exemplo, e .
O que sobra é bem mais simples!
Bebe uma água, dá uma respirada e aguenta só mais um pouquinho. Já estamos chegando ao final😊. Vamos juntar tudo e simplificar!
Passo 6
Voltando para a soma de Riemman:
Agora conseguimos calcular a integral desejada: