Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade

1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1 .

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Temos que calcular a integral definida ∫ 1 2 x - 2   d x . Para isso, vamos seguir as sugestões:

  1. Escolher x i * ​ como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ).
  2. Usar a identidade:

1 m ( m + 1 ) = 1 m - 1 m + 1 .

Vamos precisar usar a definição de integral como sendo o limite da soma de Riemann! Não lembra? Não tem problema, só precisamos saber que:

  1. Consideramos o intervalo [ a , b ] dividido em n intervalos de comprimento Δ x = b - a n .
  2. Escolhemos pontos x i * em cada um dos subintervalos.
  3. Calculamos a integral, que é dada pelo limite

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f x i *   Δ x .

Mas como essas sugestões nos ajudam a resolver o problema? Vamos vendo aos poucos. Faremos a solução por passos menores, onde iremos:

  • Dividir o intervalo 1,2 em n subintervalos e escolher pontos x i * usando a média geométrica sugerida.
  • Usar a soma de Riemann para aproximar a integral.
  • Simplificar a soma usando a identidade fornecida e calcular o limite.

Pra facilitar o nosso trabalho, vamos detalhar cada um desses pontos nos próximos passos da resolução.

Passo 2

Começamos dividindo o intervalo [ 1,2 ] em n subintervalos de comprimento

Δ x = 2 - 1 n = 1 n .

Para escolhermos x i * precisamos saber quais são os extremos de cada subintervalo!

Pensa assim: A partir do primeiro número do intervalo [ 1,2 ] , “andamos” i vezes o comprimento Δ x = 1 n e chegamos ao fim do subintervalo i . Mas como expressamos matematicamente isso?

Bem, considerando o valor de Δ x , os pontos extremos dos subintervalos são da seguinte forma:

x i = 1 + i   Δ x = 1 + i n ,   para   i = 0 ,   1 ,   2 , … , n .

Sabendo disso, precisamos escolher os pontos x i * para cada um dos subintervalos e, para isso, vamos seguir a sugestão do problema 😊.

A ideia é usar a média geométrica dos pontos extremos x i - 1 e x i de cada intervalo. Isso quer dizer o seguinte:

x i * = x i - 1 x i = 1 + i - 1 n 1 + i n .

Guarda essa informação porque já já vamos precisar dela, beleza?

Passo 3

Escrevendo a soma de Riemann para a função x - 2 , temos:

∑ i = 1 n f x i *   Δ x = ∑ i = 1 n x i * - 2 Δ x .

Já sabemos que Δ x = 1 n e que

x i * = 1 + i - 1 n 1 + i n .

Substituindo na função, temos

( x i * ) - 2 = 1 + i - 1 n 1 + i n - 2 = 1 1 + i - 1 n 1 + i n .

Tudo bem até aqui? Pode dar uma respirada antes de continuarmos. Bem, substituindo Δ x e a igualdade anterior no somatório, ficamos com

∑ i = 1 n f x i *   Δ x = ∑ i = 1 n 1 1 + i - 1 n 1 + i n ⋅ 1 n .

Para facilitar, vamos simplificar os termos do somatório a direita para

1 1 + i - 1 n 1 + i n ⋅ 1 n =   1 n + i - 1 n n + i n ⋅ 1 n ,

melhor ainda

1 n + i - 1 n n + i n ⋅ 1 n = n 2 n + i - 1 n + i   ⋅ 1 n .

Simplificando mais uma vez, podemos escrever o termo inicial de uma forma vantajosa para as nossas contas (no próximo passo vai ficar claro)

n ⋅ 1 ( n + i - 1 ) ( n + i ) .

Para fechar esse passo, vamos simplificar mais uma vez a soma de Riemann (agora colocando o n em evidência)

∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x = n ∑ i = 1 n 1 ( n + i - 1 ) ( n + i ) .

Ufa, 🤯! Fica tranquilo que estamos no caminho certo! Vamos continuar e ver como essas simplificações e os demais passos nos ajudam a resolver a integral procurada.

Passo 4

Agora é o momento de usarmos a segunda parte da sugestão! Fica atento para você não perder nenhum detalhe. Como

1 m ( m + 1 ) = 1 m - 1 m + 1 ,

então se a gente escolher m = n + i - 1 , vamos ter também que m + 1 = n + i , confere? Além disso, para esse m escolhido, a identidade se torna:

1 ( n + i - 1 ) ( n + i ) = 1 n + i - 1 - 1 n + i .

Substituindo na expressão para a soma de Riemann que obtivemos no passo anterior:

∑ i = 1 n f x i *   Δ x = n ∑ i = 1 n 1 n + i - 1 - 1 n + i .

No que isso vai nos ajudar? Espia só o próximo passo.

Passo 5

A soma

∑ i = 1 n 1 n + i - 1 - 1 n + i

é uma soma telescópica! Nome engraçado, né? Mas o que é isso? Você pode se aventurar no nosso site e procurar mais sobre elas.

Por agora, vamos escrever essa tal de soma telescópica por extenso e conferir como ela vai nos ajudar a resolver o problema.

∑ i = 1 n 1 n + i - 1 - 1 n + i = T 1 + T 2 + … + T n - 1 + T n ,

onde os termos são dados por:

T 1 =   1 n - 1 n + 1 ,

T 2 = �� 1 n + 1 - 1 n + 2 ,

T n - 1 =   1 n + n - 2 - 1 n + n - 1 ,

T n =   1 n + n - 1 - 1 n + n .

Saca só:

T 1 + T 2 =   1 n - 1 n + 1 +   1 n + 1 - 1 n + 2 =   1 n - 1 n + 2

e

T 1 + T 2 + T 3 =     1 n - 1 n + 2 +   1 n + 2 - 1 n + 3 =   1 n - 1 n + 3 .

Presta atenção no padrão: os termos com sinal negativo vão cancelar com os termos com sinal positivo (com exceção do último). Ou seja, só o primeiro e o último termo não se cancelam!

T 1 + T 2 + T 3 + ⋯ + T n =     1 n - 1 2 n .

Se não conseguiu perceber, sem problemas. Tente fazer mais alguns casos antes de generalizar. Por exemplo, T 1 + T 2 + T 3 + T 4 e T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 .

O que sobra é bem mais simples!

∑ i = 1 n 1 n + i - 1 - 1 n + i =   1 n - 1 2 n = 1 2 n

Bebe uma água, dá uma respirada e aguenta só mais um pouquinho. Já estamos chegando ao final😊. Vamos juntar tudo e simplificar!

Passo 6

Voltando para a soma de Riemman:

∑ i = 1 n f x i * Δ x = n ∑ i = 1 n 1 n + i - 1 - 1 n + i = n ⋅ 1 2 n = 1 2 .

Agora conseguimos calcular a integral desejada:

∫ 1 2 x - 2 d x = lim n → ∞ 1 2 = 1 2 .

Resposta

∫ 1 2 x - 2 d x = 1 2 .

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