Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 67

Seja f x = 0 se x for um número racional qualquer e f x = 1 se x for um número irracional qualquer. Mostre que f não é integrável em 0,1 .

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Queremos mostrar que a função f ( x ) não é integrável em 0,1 . Sabemos que f x = 0 se x for um número racional qualquer e f x = 1 se x for um número irracional qualquer.

Para que f fosse integrável em 0,1 o limite do somatório que gera a integral deveria existir. Em outras palavras, deveria existir

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Passo 2

Se o nosso n é o número de subintervalos dentro de 0,1 de modo que se escolhermos um x i no i-ésimo subintervalo onde temos um número irracional temos o limite a soma de Riemann:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i 1 n = 0

Mas, em contrapartida, se o número for irracional, o valor do limite é:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ( 1 ) 1 n = n n = 1

Se o valor dessa integral depende dos pontos da amostra e no intervalo dado temos descontinuidade, a função f não é integrável em 0,1 .

Resposta

Desenvolvimento acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

83. b) Suponha que, em vez de serem iguais, os comprimentos ∆ x k dos subintervalos da partição de [ a ,b ] variam em tamanho. Demonstre que: U - L ≤ f b - f a ∆ x m a x , no qual ∆ x m a x é a norma
83. a) Suponhamos que o gráfico de uma função contínua f ( x ) suba gradualmente conforme x se move da esquerda para a direita em um intervalo [ a ,b ] . Seja P uma partição de [ a ,b ] em n subinterv
21. Inscreva um polígono regular de n lados dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área do polígono para os seguintes valores de n :a. 4 (quadrado)b. 8 (octógono)c. 16d. Compare as áreas obtidas n
20. Poluição do ar Uma fábrica gera energia elétrica pela queima de óleo. Os poluentes produzidos como resultado da combustão são removidos por purificadores colocados nas chaminés. Com o tempo, o mec
Nos Exercícios 15-18, utilize uma soma finita para estimar o valor médio de f no intervalo dado, dividindo-o em quatro subintervalos de comprimento igual e avaliando f nos pontos médios dos subinterva