Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 67

Seja se for um número racional qualquer e se for um número irracional qualquer. Mostre que não é integrável em .

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Queremos mostrar que a função não é integrável em . Sabemos que se for um número racional qualquer e se for um número irracional qualquer.

Para que fosse integrável em o limite do somatório que gera a integral deveria existir. Em outras palavras, deveria existir

Passo 2

Se o nosso é o número de subintervalos dentro de de modo que se escolhermos um no i-ésimo subintervalo onde temos um número irracional temos o limite a soma de Riemann:

Mas, em contrapartida, se o número for irracional, o valor do limite é:

Se o valor dessa integral depende dos pontos da amostra e no intervalo dado temos descontinuidade, a função não é integrável em .

Resposta

Desenvolvimento acima.

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