Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 59
Use a Propriedade para estimar o valor da integral.
Passo 1
De acordo com a Propriedade , uma função contínua e integrável em um intervalo que possui um máximo absoluto e um mínimo absoluto , tem a área do gráfico de é menor ou igual que a área do retângulo de altura e maior ou igual que o retângulo de altura . Em termos matemáticos, isso quer dizer que:
Passo 2
Se chamarmos , precisamos achar o valor máximo e mínimo de para . Podemos obter essa informação pelo teste da derivada da função:
Para temos ;
Para (função crescente) temos ;
Para (função decrescente) temos .
Então temos um máximo em cujo valor máximo é
E o mínimo então só pode ser um dos extremos ou :
Passo 3
Portanto,
Logo, a aproximação é:
Como , ,, e :
Resposta
O valor de está entre e :
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37. Prove que a função sinal é descontínua em [ - 1,1 ] e mesmo assim é integrável nesse intervalo. Mostre também que ∫ - 1 1 s g n xd x = 0
Expresse como uma integral definida: lim n → + ∞ ∑ i = 1 n n i + n 2 Sugestão: considere a fução f para a qual f x = 1 x 2 em [ 1,2 ] .
Expresse como uma integral definida: lim n → + ∞ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 Sugestão: considere a fução f para a qual f x = x 2 .
Seja [ a , b ] qualquer intervalo tal que a0b . Prove que mesmo que a função escada unitária (Exercício 24 nos Exercícios 2.3) seja descontínua em [ a , b ] , ela será integrável nesse intervalo e ∫ a
Expresse como uma integral definida: lim n → + ∞ ∑ i = 1 n 1 i + n Sugestão: considere a fução f para a qual f x = 1 x em [ 1,2 ] .