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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 73

Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade

1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1

Passo 1

Pessoal, nessa questão temos que resolver a seguinte integral:

∫ 1 2 x - 2 d x

Para resolvermos essa integral, vamos transformá-la no limite do somatório:

∫ 1 2 x - 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

O enunciado dá a dica de usar a média geométrica entre x i - 1 e x i .

O nosso x i é dado por x i = 1 + i n assim como x i - 1 = 1 + i - 1 n , então a sua média geométrica é dada por:

x i * = x i - 1 x i = x i * = 1 + i - 1 n 1 + i n

Se temos n intervalos ente x = 2 e x = 1 temos que Δ x = 2 - 1 n = 1 n .

Passo 2

Logo, o limite fica como sendo:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 1 + i - 1 n 1 + i n 1 n   =

Substituindo na função têm-se:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i - 1 n 1 + i n 1 n   =

Colocando a constante 1 / n para fora do somatório:

lim n → ∞ ⁡ 1 n   �� i = 1 n 1 n + i - 1 n n + i n =

Também pode-se colocar o n que está dividindo no denominador para fora, de forma a termos no final que:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i n + i

lim n → ∞ ⁡ n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i n + i

Passo 3

Pela identidade dada no enunciado:

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i - 1 n + i

Podemos abrir em dois somatórios, um para cada termo:

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   ∑ i = 1 n 1 n - 1 + i - ∑ i = 1 n 1 n + i

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   1 n + 1 n + 1 + … + 1 2 n - 1 - 1 n + 1 + … + 1 2 n - 1 + 1 2 n

Perceba que os termos do somatório da esquerda cortam com os termos do somatório da direita, de forma a sobrar apenas:

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ n   1 n - 1 2 n

Multiplicando o n de forma distributiva, ficamos com:

∫ 1 2 x - 2 d x =   lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 2

Logo:

∫ 1 2 x - 2 d x = 1 2

Resposta

∫ 1 2 x - 2 d x = 1 2

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Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.25. ∫ x 2 - 1 x 2 + 1 d x
31. int (d t)/((n - (1)/(2)) t^n) , onde n in z .
Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f( x )=x 2 . Se seu
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