Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 69
Seja se for um número racional qualquer e se for um número irracional qualquer. Mostre que não é integ .
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
O que temos aqui é uma função definida por duas leis de formação:
Para que fosse integrável em o limite do somatório que gera a integral deveria existir. Em outras palavras, deveria existir
Onde
Sendo e os extremos do intervalo de integração.
E o valor deve ser um valor de no interior de cada subintervalo.
Passo 2
Se nós dividirmos o intervalo em , tal que
Independente de quanto maior se torne, os subintervalos dados por
sempre terão um número racional e irracional.
Se escolhermos de forma que ele seja irracional,
Se nós escolhermos de forma que ele seja racional,
Passo 3
Como podemos observar, o limite depende do valor escolhido para , sendo assim não é possível integrar
Resposta
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