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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 11

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela

nas funções dos Exercícios 1-30

f ( x , y ) = 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 + 1 - 8 x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

f ( x , y ) = 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 + 1 - 8 x

Passo 2

Uma vez que a função f pode ser derivada em todos os pontos, os valores extremos ocorrem apenas quando:

f x = 0  ou  f y = 0

Passo 3

Reescrevendo a equação obtém-se a expressão abaixo:

f ( x , y ) = 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 1 2 + 1 - 8 x

Passo 4

Portanto:

f x = 1 2 112 x - 16 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 - 8 = 56 x - 8 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 - 8 = 0

e

f y = 1 2 - 16 y 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 = - 8 y 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 = 0

Passo 5

Agora, você deve isolar y na equação - 8 y 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 = 0 e chegar a:

y = 0

Passo 6

Substituindo y na equação 56 x - 8 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 - 8 = 0

56 x - 8 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 - 8 = 0

56 x - 8 56 x 2 - 8 ( 0 ) 2 - 16 x - 31 - 8 = 0

56 x - 8 56 x 2 - 16 x - 31 = 8

56 x - 8 = 8 56 x 2 - 16 x - 31

7 x - 1 = 56 x 2 - 16 x - 31   ( 7 x - 1 ) 2 = 56 x 2 - 16 x - 31 49 x 2 - 14 x + 1 = 56 x 2 - 16 x - 31 7 x 2 - 2 x - 30 = 0

Passo 7

A equação 7 x 2 - 2 x - 30 = 0 não possui nenhum ponto que satisfaça a equação, logo, não há pontos de mínimo, máximo ou de sela para a equação

Resposta

Resposta nos passos.

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