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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 27

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = e - y x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 2 x e - y

f y = - e - y x 2 + y - 2 y

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

2 x e - y = 0                                                                 ( I ) - e - y x 2 + y - 2 y = 0       ( I I )

Para a equação (I):

x = 0

Substituindo na equação (II):

- e - y 0 2 + y - 2 y = 0

- e - y y y - 2 = 0

y y - 2 = 0

Então temos:

y = 0 y = 2

Sendo assim, temos os pontos f 0 ,   0 e f 0 ,   2 .

Passo 3

Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 2 e - y

f y y = e - y x 2 + y 2 - 4 y + 2

f x y = - 2 x e - y

Passo 4

Para o ponto 0 ,   0 temos:

f x x = 2 e - 0 = 2

Este pode ser um ponto de mínimo local, podemos confirmar por:

f x x f y y - f x y 2 = 2 ∙ e 0 2 - - 2 ∙ 0 ∙ e 0 2

= 4

Como o valor encontrado é maior que zero, podemos fizer que 0 ,   0 é um mínimo local.

Passo 5

E por fim, para o ponto 0 ,   2 temos:

f x x f y y - f x y 2 = 2 ∙ e - 2 2 2 - 4 ∙ 2 + 2 - - 2 ∙ 0 ∙ e - 2 2

= - 4 e 2

Como o valor encontrado é menor que zero, podemos dizer que 0 ,   2 é um ponto de sela.

Resposta

  • f 0 ,   0 mínimo local;
  • f 0 ,   2 ponto de sela.

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