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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 21

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela

nas funções dos Exercícios 1-30

f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 - 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício iremos encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de sela para a equação:

f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 - 1

Passo 2

Lembre-se que uma vez que a função f pode ser derivada em todos os pontos, os valores extremos ocorrem apenas quando:

f x = 0  ou  f y = 0

Portanto:

f x ( x , y ) = - 2 x x 2 + y 2 - 1 2 = 0  e  f y ( x , y ) = - 2 y x 2 + y 2 - 1 2 = 0

Passo 3

Agora vamos isolar o y na equação - 2 y x 2 + y 2 - 1 2 = 0 , assim:

- 2 y x 2 + y 2 - 1 2 = 0   - 2 y = 0 × x 2 + y 2 - 1 2 y = 0

Passo 4

Agora iremos substituir o y na equação - 2 x x 2 + y 2 - 1 2 = 0 , assim

- 2 x x 2 + y 2 - 1 2 = 0 - 2 x x 2 + ( 0 ) 2 - 1 2 = 0 - 2 x x 2 - 1 2 = 0   - 2 x = 0 × x 2 - 1 2 x = 0

Portanto o ponto ( 0,0 ) é um ponto onde a função f pode assumir um valor extremo.

Passo 5

Para avaliar se o ponto ( 0,0 ) realmente assume um valor extremo calcula-se as segundas derivadas parciais como se segue:

f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 - 1 f x ( x , y ) = - 2 x x 2 + y 2 - 1 2 f x x ( x , y ) = 4 x 2 - 2 y 2 + 2 x 2 + y 2 - 1 3 f x x ( 0,0 ) = 4 ( 0 ) 2 - 2 ( 0 ) 2 + 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 - 1 3 f x x ( 0,0 ) = 2 ( - 1 ) f x x ( 0,0 ) = - 2 f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 - 1 f y ( x , y ) = - 2 y x 2 + y 2 - 1 2 f y y ( x , y ) = - 2 x 2 + 4 y 2 + 2 x 2 + y 2 - 1 3 f y y ( 0,0 ) = - 2 ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) 2 + 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 - 1 3 f y y ( 0,0 ) = 2 ( - 1 ) f y y ( 0,0 ) = - 2 f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 - 1 f x ( x , y ) - 2 x x 2 + y 2 - 1 2 f x y ( x , y ) 8 x y x 2 + y 2 - 1 3 f x y ( 0,0 ) = 8 × 0 × 0 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 - 1 3 f x y ( 0,0 ) = 0 ( - 1 ) f x y ( 0,0 ) = 0

Passo 6

Observe que o discriminante de f no ponto ( a , b ) = ( 0,0 ) é:

f x x f y y - f x y 2 = ( - 2 ) × ( - 2 ) - ( 0 ) 2 f x x f y y - f x y 2 = 4

Passo 7

Por fim como f x x f y y - f x y 2 > 0 e f x x < 0 ,, segundo o teorema 11, o ponto ( 0,0 ) é um ponto de máximo igual a f ( 0,0 ) = - 1

Resposta

Resposta nos passos.

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