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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 9

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

9 .   f x , y = x 2 - y 2 - 2 x + 4 y + 6

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, para essa bateria de exercícios nós temos que levar em conta duas questões, a primeira para encontrar o ponto crítico, é semelhante ao que fazemos para uma váriavel, temos que derivar em função de cada uma das variáveis e igualar o resultado a zero, encontrando para cada um o ponto.

f x x , y = 2 x - 2 = 0

f y x , y = - 2 y + 4 = 0

Assim, temos a solução:

x = 1

y = 2

Passo 2

Agora para saber qual vai ser a avaliação que deverá ser feita temos que levar em conta a seguintes desiguldade:

f x x < 0   e   f x x f y y - f x y 2 > 0 ⇒ m á x i m o   l o c a l  

f x x > 0   e   f x x f y y - f x y 2 > 0 ⇒ m í n i m o   l o c a l

f x x f y y - f x y 2 < 0 ⇒ p o n t o   d e   s e l a

f x x f y y - f x y 2 = 0 ⇒   t e s t e   i n c o n c l u d e n t e .

Passo 3

Calculando a desigualdade temos:

f x x 1,2 = 2

f y y 1,2 = - 2

f x y 1,2 = 0

f x x f y y - f x y 2 = - 4 < 0

Portanto, concluímos que ( 1,2 ) é ponto de sela.

Resposta

Avaliando o resultado do passo 3 concluindo que o ponto é um ponto de sela.

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