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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 7

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

7 .   f x , y = 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 - 5 x + 2 y

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, para essa bateria de exercícios nós temos que levar em conta duas questões, a primeira para encontrar o ponto crítico, é semelhante ao que fazemos para uma váriavel, temos que derivar em função de cada uma das variáveis e igualar o resultado a zero, encontrando para cada um o ponto.

f x x , y = 4 x + 3 y - 5 = 0

f y x , y = 3 x + 8 y + 2 = 0

Logo, temos a seguinte solução para esse sistema:

x = 2

y = - 1

Passo 2

Agora para saber qual vai ser a avaliação que deverá ser feita temos que levar em conta a seguintes desiguldade:

f x x < 0   e   f x x f y y - f x y 2 > 0 ⇒ m á x i m o   l o c a l  

f x x > 0   e   f x x f y y - f x y 2 > 0 ⇒ m í n i m o   l o c a l

f x x f y y - f x y 2 < 0 ⇒ p o n t o   d e   s e l a

f x x f y y - f x y 2 = 0 ⇒   t e s t e   i n c o n c l u d e n t e .

Passo 3

Calculando a desigualdade temos:

f x x 2 , - 1 = 4

f y y 2 , - 1 = 8

f x y 2 , - 1 = 3

f x x f y y - f x y 2 = 23 > 0

f x x > 0

Logo, o ponto ( 2 , - 1 ) é um ponto de mínimo local.

Resposta

Avaliando o resultado do passo 3 concluindo que o ponto é um ponto de mínimo local:

f 2 , - 1 = - 6

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