Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 30
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.
Passo 1
Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!
Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.
Então, se uma função tem um máximo ou mínimo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesses pontos, então e .
Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função onde tanto como sejam zero ou onde ou ou ambas não existam é um ponto crítico de .
Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:
Passo 2
Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:
Isolando da equação (II):
Substituindo na equação (I):
Voltando para a equação (II):
Sendo assim, temos o ponto .
Passo 3
Com o ponto encontrado no Passo 2, precisamos definir se é de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:
- tem um máximo local em se e em .
- tem um mínimo local em se e em .
- tem um ponto de sela em se em .
Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:
Passo 4
Sendo assim, temos:
Como o valor encontrado é menor que zero, podemos dizer que é um ponto de sela
Resposta
- ponto de sela.