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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 15

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = 6 x 2 - 2 x 3 + 3 y 2 + 6 x y

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 12 x - 6 x 2 + 6 y = 6 ( 2 x - x 2 + y )

f y = 6 y + 6 x = 6 ( y + x )

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

2 x - x 2 + y = 0         ( I ) y + x = 0                               ( I I )

Resolvendo esse sisteminha, da equação (II), temos:

y = - x

Substituindo na equação (I):

2 x - x 2 - x = 0

x - x 2 = 0

Colocando x em evidência:

- x ( x - 1 ) = 0

Então temos:

x = 0

E:

x - 1 = 0

x = 1

Agora precisamos voltar na equação 1, para descobrirmos os valores de y :

  • Para x = 0 :

    • y = - x = 0

  • Para x = 1 :

    • y = - 1

    Sendo assim, temos os pontos f 0 ,   0 e f 1 ,   - 1 .

    Passo 3

    Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 12 - 12 x = - 12 ( x - 1 )

f y y = 6

f x y = 6

Passo 3

Para o ponto f 0 ,   0 , podemos observar que:

f x x = 12 - 12 ∙ 0 = 12

Determina que pode ser um mínimo local, mas vamos confirmar com:

f x x f y y - f x y 2 = ( 12 - 12 ∙ 0 ) ∙ 6 - 6 2 = 36

Como o valor encontrado é maior que zero, podemos fizer que o ponto crítico 0 ,   0 é um mínimo local.

Passo 4

Já o ponto f 1 ,   - 1 , temos que:

f x x = 12 - 12 ∙ 1 = 0

Já sabemos que não é mínimo e máximo local. Sendo assim, podemos confirmar se é um ponto de sela por:

f x x f y y - f x y 2 = 12 - 12 ∙ 1 ∙ 6 - 6 2 = 0 - 36

f x x f y y - f x y 2 = - 36

Podemos observar que o ponto crítico 1 ,   - 1 é um ponto de sela.

Ufa, finalmente acabamos esse exercício! Espero que eu tenha conseguido te ajudar, até mais!

Resposta

  • f 0 ,   0 mínimo local;
  • f 1 ,   - 1 ponto de sela.

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