Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 46
Encontre todos os valores de para os quais a seguinte série converge:
Passo 1
Fala aíí, pessoal!
Nessa questão queremos associar a convergência dessa série com o valor da constante . Pra isso, podemos aplicar o Teste da Integral. Nesse método, vamos associar o termo geral da série com uma função:
E então vamos integrar essa função! Se a integral convergir, a série converge. Se a integral divergir, a série diverge.
O problema é que essa integral é imprópria (limite de integração superior infinito), então pra calculá-la, temos que trocar o infinito por uma outra variável, digamos , e depois fazer o limite de :
Vamos resolver!
Passo 2
Vamos calcular a seguinte integral:
A integral da soma é a soma das integrais, então vamos abrir isso aqui:
Na primeira integral, basta a gente tirar a constante que ela fica algo bem conhecido pra gente:
E pra segunda integral, vamos fazer uma substituição:
Substituindo:
Retornando pra variável :
Agora é só juntar os dois resultados pra finalizar nossa integração:
Passo 3
Mas lembra que a integral era imprópria?
Agora vamos calcular o limite do que achamos:
Temos uma indeterminação, então vamos ter que manipular essa expressão aí. Vamos arrumar nossa expressão pra separar o que tem e o que não tem:
Agora vamos aplicar propriedades de limite pra funções contínuas:
Nosso problema agora é melhor, porque ele fica ali dentro do primeiro logaritmo, vamos calcular separadamente
Com uma indeterminação DESSE TIPO, podemos aplicar L’Hospital:
AGORA PRESTA ATENÇÃO! O resultado que queremos aqui é um resultado finito, pois assim a integral vai convergir e a série será convergente!
Pra qual valor de , o seguinte limite tem resultado finito??
Se :
Se :
Se
Portanto, temos que deve ser menor que 1!
Neste intervalo, o valor da integral é:
Ambos os casos são constantes finitas e indicam que a série é convergente!