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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 18

Encontre todos os valores de x para os quais

∑ n = 1 ∞ n x n n + 1 2 x + 1 n

Converge absolutamente.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A tarefa é encontrar os valores que fariam a série convergir absolutamente. Isso pode ser feito usando o teste de razão abaixo.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ρ

Fazendo o teste da razão na série dada no enunciado, obtemos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) x n + 1 n + 1 + 1 2 x + 1 n + 1 ∙ n + 1 2 x + 1 n n x n

Desenvolvendo os termos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) x n + 1 n + 2 2 x + 1 n ( 2 x + 1 ) ∙ n + 1 2 x + 1 n n x n

Com isso, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 n n + 2 2 x + 1 = x 2 x + 1 lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 n 2 + 2 n

Aplicando a regra de L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x 2 x + 1 lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 2 n + 2 = x 2 x + 1

Passo 2

Pelo Teste da Razão, a série de potências converge absolutamente se x 2 x + 1 < 1 isto é, x < - 1 ou x > - 1 3 , com isso

x 2 x + 1 < 1 → x < 2 x + 1

Precisamos identificar primeiro os diferentes casos dessa desigualdade. O lado esquerdo da desigualdade tem dois casos diferentes, conforme mostrado abaixo.

x = x ,     s e   x > 0 - x ,     s e   x < 0

O lado direito da desigualdade também tem dois casos diferentes.

2 x + 1 = 2 x + 1 ,     s e   x > 0 - ( 2 x + 1 ) ,     s e   x < 0

Com base nos casos dos valores absolutos de ambos os lados da desigualdade, temos então os três casos para verificar a desigualdade com:

x > 0 ,   - 1 2 < x < 0 ,   x < - 1 2

Passo 3

Vamos então resolver a desigualdade para os três casos como mostrado abaixo. Para x > 0 , ambos os valores absolutos são positivos.

x < 2 x + 1 → x < 2 x + 1

Desenvolvendo a desigualdade

x - 2 x < 1

Com isso, obtemos que

- x < 1 → x > - 1

Para - 1 2 < x < 0 , o valor absoluto no lado esquerdo da desigualdade será negativo, enquanto o lado direito será positivo.

x < 2 x + 1 → - x < 2 x + 1

Com isso, nós temos que

- x - 2 x < 1 → - 3 x < 1

O que nos fornece

x > - 1 3

Para x < - 1 2 , os dois lados da inequação são negativos

x < 2 x + 1 → - x < - 2 x + 1

Com isso, obtemos que

- x + 2 x < - 1 → x < - 1

Unindo os intervalos sobrepostos, podemos dizer que a série converge absolutamente quando:

x < - 1   o u   x > - 1 3

Resposta

x < - 1   o u   x > - 1 3

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