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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 26

(Continuação do Exercício 25.) Suponha que os termos de ∑ n = 1 ∞ u n sejam definidos recursivamente pelas fórmulas

u 1 = 1 ,   u n + 1 = 2 n - 1 2 ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) u n

Aplique o teste de Raabe para determinar se a série converge.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que u 1 = 1 e u n + 1 = 2 n - 1 2 ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) u n . Podemos escrever da seguinte forma:

u n u n + 1 = ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) 2 n - 1 2

Desenvolvendo os termos

u n u n + 1 = 4 n 2 + 2 n 4 n 2 - 4 n + 1

Separando os termos

u n u n + 1 = 1 + 6 4 n + 5 4 n 2 - 4 n + 1 = 1 + 3 2 n + 5 n 2 4 n 2 - 4 n + 1 n 2

Aqui, para este caso, ∑ n = 1 ∞ u n é uma série de valores positivos.

Passo 2

Vamos relembrar o teste de Raabe, se ∑ n = 1 ∞ u n é uma série de constantes positivas e existem constantes C , K   e N desde que

u n u n + 1 = 1 + C n + f n n 2

Onde f ( n ) < K para n ≥ N , portanto, ∑ n = 1 ∞ u n converge se C > 1 e diverge se C ≤ 1 . Aplicando o teste de Raabe, nós temos que C = 3 2 > 1 e com isso,

f n = 5 n 2 4 n 2 - 4 n + 1 = 5 4 - 4 n + 1 n 2 ≤ 5

Portanto, pelo teste, a série converge!

Resposta

Convergente!!

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