Encontre o valor para a constante b que fará com que o raio de convergência da série de potências

∑ n = 2 ∞ b n x n ln ⁡ n

Seja igual a 5 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para este caso, vamos usar o teste da raíz. Supondo que nós temos uma série ∑ a n , vamos definir

L = lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n

Se L < 1 , a série é absolutamente convergente, caso L > 1 , a série é divergente e se caso L = 1 , o teste não é útil.

Passo 2

No problema dado

a n = b n x n ln ⁡ n

Portanto,

L = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ b x ln ⁡ n 1 n

Portanto,

L = b x

A série de potências irá convergir quando L = b x < 1 , o que significa que

x < 1 b

Portanto, o raio de convergência é 1 b . Se o raio de convergência é 5, então temos b = 1 5 , portanto

b = ± 1 5

Resposta

b = ± 1 5

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