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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 36

Para quais inteiros positivos k a série

∑ n = 1 ∞ n ! 2 k n !

é convergente?

Passo 1

Pessoal, pra verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 2 k n ! k n + 1 ! n ! 2 = l i m n → ∞ n + 1 n ! 2 k n ! k n + k ! n ! 2 = l i m n → ∞ n + 1 2 n ! 2 k n ! k n + k k n + k - 1 k n + k - 2 … k n + k - k - 1 k n ! n ! 2 = l i m n → ∞ n + 1 2 k n + k k n + k - 1 … k n + 1

Passo 2

Show! Agora vamos testar como fica L pra alguns valores de k . Vejamos para o primeiro inteiro positivo, k = 1 :

L = l i m n → ∞ n + 1 2 1   .   n + 1 = l i m n → ∞ n + 1 2 n + 1 = l i m n → ∞   n + 1 = ∞

Então, pra k = 1 , a série diverge.

Passo 3

Agora vejamos pra k = 2 :

L = l i m n → ∞ n + 1 2 2   .   n + 2 2   .   n + 1 = l i m n → ∞ n + 1 2 2 n + 2 2 n + 1 = l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 2 + 2 n 2 + 1 n = 1 + 0 2 2 + 0 2 + 0 = 1 4

Agora, como L < 1 , pelo Teste da Razão, a série é absolutamente convergente, e portanto, convergente, pra k = 2 .

Passo 4

Pessoal, perceba que pra qualquer k > 2 , a série também vai ser absolutamente convergente (e portanto, convergente), pois teremos L = 0 . Veja só:

L = l i m n → ∞ n + 1 2 k n + k k n + k - 1 … k n + 1

Se k > 2 , o denominador vai ter pelo menos três fatores envolvendo n , enquanto o numerador sempre tem apenas dois fatores. Ou seja, o denominador é sempre um polinômio de maior grau do que o numerador. Então, quando n tende a infinito, o limite dá zero:

L = l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 k + k n k + k n - 1 n … k n + 1 → 1 + 0 2 k + 0 k + 0 - 0 … ( k . ∞ + 1 ) → 1 k . k . ∞ → 0

Resposta

k ≥ 2

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