Encontre três diferentes superfícies que contém a curva: r → t = t 2 i → + ln ⁡ t j → + ( 1 / t ) k → .

Passo 1

Nesse exercício, temos a curva parametrizada:

r → t = t 2 i → + ln ⁡ t j → + 1 t k →

E precisamos encontrar 3 diferentes superfícies que contenham essa curva.

Se colocarmos a nossa curva em coordenadas cartesianas relacionando duas componentes da mesma curva, teremos uma curva que em duas dimensões que contêm a nossa curva r ( t ) . Sei que parece confuso, mas irei te ajudar a visualizar.

Passo 2

Dá parametrização, a gente tira que:

x = t 2 ,     y = ln ⁡ t ,     z = 1 t

Isolando t da equação em x , temos:

t = x

Com isso, podemos agora substituir essa relação na equação para y :

y = ln ⁡ x = ln ⁡ x

Dessa forma, a curva está sob o cilindro

y = ln ⁡ x

Podemos agora realizar o mesmo procedimento substituindo o valor de t na equação para z , obtendo:

z = 1 t = 1 x

Então a curva também fica sob o cilindro z = 1 / x .

Passo 3

E, por fim, da equação em z , podemos reescrever:

z = 1 t

Substituindo de y = ln ⁡ t , e consequentemente t = e y :

z = 1 t = 1 e y = e - y

Da equação em y , temos que ln ⁡ t = y , dessa forma, substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos:

y = ln ⁡ 1 z

Dessa forma, a curva também fica sob o cilindro y = ln ⁡ 1 z .

Podemos visualizar que estamos corretos no nosso pensamento com o gráfico feito utilizando o Desmos:

Resposta

y = ln ⁡ x

z = 1 / x

y = ln ⁡ 1 z

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