Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 22

Use coordenadas esféricas.

Calcule

∭ E y 2 z 2 d V

Onde E está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 1 .

Passo 1

Fala, galera!

A questão pede pra calcular essa integral aqui, ó:

∭ E y 2 z 2 d V

E nos deu informações sobre essa região E , que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 1 .

Como temos uma esfera, vamos utilizar as coordenadas esféricas, descobrir os limites de integração e responder, belê?

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ

  y = ρ s e n   ϕ   s e n   θ

  z = ρ cos ⁡ ϕ

  ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

d V = ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d θ d ϕ

Analisando a região dada no enunciado, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico.

Para o raio da esfera ρ = 1 , então

0 ≤ ρ ≤ 1

Como estamos ao redor dela,

0 ≤ θ ≤ 2 π

E temos um cone definido por

0 ≤ ϕ ≤ π / 3

Ou seja,

∫ 0 π / 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ s e n   ϕ   s e n   θ 2 ρ cos ⁡ ϕ 2 ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d θ d ϕ

Passo 2

Organizando nosso integrando, podemos separar as integrais conforme suas variáveis. Lembra que isso só é possível porque podemos separar o integrando em funções de apenas uma variável e porque os limites de integração são numéricos. Beleza?

∫ 0 π / 3 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ   ∫ 0 2 π s e n 2 θ   d θ     ∫ 0 1 ρ 6 d ρ

Podemos facilitar nossa vida com relações fundamentais da trigonometria. Por exemplo, temos essa identidade trigonométrica que vai ajudar nossa vida:

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = cos ⁡ 2 x

Isolando o seno, teremos:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:

∫ 0 π / 3 1 - cos 2 ⁡ ϕ s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ   ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ   ∫ 0 1 ρ 6 d ρ

Show? 😉

Passo 3

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para ϕ , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

∫ cos x ⁡ θ s e n ⁡ θ

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s   θ → d u = - s e n   θ e a integral se torna:

∫ - u x d u = - u x + 1 x + 1 = - cos x ⁡ θ x + 1

Nesse caso, temos x = 2 e x = 4 , então, resolvendo as integrais em ϕ , temos:

��� 0 π 3 1 - cos 2 ⁡ ϕ s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ

1 5 cos 5 ⁡ ϕ - 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 3

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

1 5 cos 5 ⁡ ϕ - 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 3 1 2 θ - 1 4 s e n   2 θ 0 2 π 1 7 ρ 7 0 1

1 5 1 2 5 - 1 3 1 2 3 - 1 5 + 1 3 π - 0   1 7 - 0

47 480 π 1 7 = 47 3360 π

Moleza! 😊

Resposta

∭ E y 2 z 2 d V = 47 3360 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x d x d y d z Onde W = x ,y ,z ∈ R 3|4 ≤ x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 9 ,x ≥ 0 ,z ≥ 0
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 d x d y d z Onde W é a região dada por: i )W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 i i )
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2 Onde W é o sólido definido por: W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 y ,z ≤ x 2 +
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕd ρd ϕd θ E calcule a integral.
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ H z 3x 2 + y 2 + z 2d V ondeH é o hemisfério sólido com centro na origem e raio 1 , que está acima do plano x y .