Enunciado

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Encontre r ’ ( t )

(c) Esboce o vetor posição r ( t ) e o vetor tangente r ’ ( t ) para o valor dado de t .

r t = t 2 , t 3 ,   t = 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nos foi dada a seguinte equação vetorial:

r t = t 2 , t 3

Na letra (a) queremos esboçar o gráfico dessa curva. Para isso, basta pegarmos as equações paramétricas, isolar o parâmetro t de uma e inserir na outra de forma que fique uma função do tipo y x .

Em seguida, na letra (b), devemos determinar a derivada r ' t . Para isso, basta derivarmos as equações paramétricas individualmente em relação a t .

Por fim, na letra (c), iremos esboçar o vetor posição r ( t ) e o vetor tangente r ’ ( t ) para t = 1 .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são:

x = t 2                   y = t 3

Isolando-se t na primeira equação obtemos t = x . Substituindo esse resultado na segunda equação temos:

y = x 3

y = x 3 2

Com isso, plotando o gráfico, teremos:

Passo 3

Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) :

r t = t 2 , t 3

r ' t = d d t t 2 , d d t   t 3

r ' t = 2 t ,   3 t 2

Passo 4

O vetor posição r ( t ) em t = 1 é:

r 1 = 1 2 , 1 3

r 1 = ( 1,1 )

Por outro lado, o vetor tangente em t = 1 , tem origem no ponto ( 1,1 ) e é dado por:

r ' 1 = 2 ⋅ 1 ,   3 1 2

r ' 1 = ( 2 ,   3 )

Dessa forma podemos representar os vetores:

Resposta

(a)

(b)

r ' t = 2 t ,   3 t 2

(c)

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Determine o comprimento da curva dada.r (t) = 12 i + 8 t^(3 // 2) j + 3 t^2 k 0 = t = 1
Escreva o enunciado aqui.
Determine o comprimento da curva dada.r (t) = cos t i + sin t j + ln cos t k 0 = t = (pi)/(4)
Determine o comprimento da curva dada. r (t) = i + t^2 j + t^3 k 0 = t = 1
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t =sin ⁡ t ,3 , cos ⁡ t