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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 22

Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha.

x = cos ⁡ t   ,     y = s e n t ,     z = 1 1 + t 2

Passo 1

Oie, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Basicamente aqui a gente tem que encontrar qual gráfico representa a curva parametrizada:

x = cos ⁡ t       y = s e n t     z = 1 1 + t 2

Para esse caso, a gente pode utilizar a identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Para nos ajudar a entender o comportamento da função.

Passo 2

Em todo ponto sobre a curva dada nós temos no eixo x y :

x 2 + y 2 = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

E por conta da identidade trigonométrica, teremos que:

x 2 + y 2 = 1

Dessa forma, a curva está em um cilindro circular x 2 + y 2 = 1 com eixo no eixo z .

Note que:

z = 1 1 + t 2

Então o denominador tem a seguinte limitação:

1 + t 2 ≥ 1

dessa forma 0 < z ≤ 1 , ou seja, ela é limitada. O gráfico deve ser o V I .

Resposta

O gráfico deve ser o V I .

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t =1 + t , 3 t ,- t
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