9.(a) Se G ( x ) = x 1 + 2 x , encontre G ' ( a ) e use-o para achar uma equação da reta tangente à curva y = x 1 + 2 x no ponto ( - 1 4 , - 1 2 ) .(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta tangente na mesma tela.

(a) G ' ( a ) = 1 ( 1 + 2 a ) 2 y = 4 x + 1 2 (b)

Enunciado

Olá, meu estudante preferido. Pronto para mais uma resolução?

É bom que sim, pois aqui a gente vai ter que encontrar a derivada da função:

No ponto genérico . Para isso, a gente vai utilizar a fórmula de derivada:

Já para a equação da reta tangente no ponto utilizaremos a derivada que encontramos e os pontos dados da seguinte forma:

Onde é o ponto dado no enunciado pelo qual a nossa reta tangente deve passar.

O gráfico nós iremos fazer utilizando o GeoGebra, ele irá nos ajudar a saber se visemos um bom trabalho.

Letra a)

Agora que já colocamos as fórmulas no passo anterior, temos que fazer os cálculos dessa situação, vamos com calma para não errar:

Inicialmente, vou anotar algumas coisas que iremos precisar:

Colocando tudo na expressão do limite, vamos ter:

Fazendo o do numerador:

Organizando a fração:

Realizando os produtos:

Simplificando os termos semelhantes:

Vamos simplificar o da parte de cima com o da parte de baixo:

Agora com calculado iremos substituir para acharemos a inclinação da tangente nesse ponto e podermos encontrar a nossa reta tangente:

Voltando para resolvermos o problema da equação da reta tangente, vai ser mais uma substituição de variáveis. Presta atenção no serviçooo!

Lembrando do ponto que queremos :

Letra b)

Aqui iremos então montar o gráfico e ver se estamos realmente certos. Com ajuda do GeoGebra montei os dois gráficos:

Então terminamos aqui, até uma próxima.

(a)

(b)