49- Encontre um valor diferente de zero para a constante k que torne

f ( x ) t g k x x ,       x < 0 3 x + 2 k 2 ,         x ≥ 0

Contínua em x = 0 .

Passo 1

Gente, a primeira coisa que nós temos que pensar aqui é : Quais são as condições que eu tenho que atender para que essa função seja contínua em x = 0 ?

1-Os limites laterais tem que ser iguais;

2- lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f ( 0 ) .

Agora estamos prontos começar a questão. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular os limites laterais:

-Para x < 0 , temos:

lim x → 0 - ⁡ t g k x x = lim x → 0 - ⁡ s e n k x x × 1 c o s k x  

Como o limite do produto é o produto dos limites, temos:

lim x → 0 - ⁡ s e n k x x × lim x → 0 - ⁡ 1 c o s k x

Galera, esse primeiro limite me lembra algum teorema..... Ahhhh eu acho que você já sabe: O limite trigonométrico fundamental !!!!

Mas antes de usá-lo, vamos multiplicar e dividir por k , para que o denominador fique igual ao argumento da função seno:

k   lim x → 0 - ⁡ s e n k x k x

Assim,

k × 1 = k

Agora, vamos para o segundo limite (que é o mais fácil ):

lim x → 0 - ⁡ 1 c o s k x = 1

Esse foi fácil né ?!

Assim,

lim x → 0 - ⁡ t g k x x = 1 × k = k

Passo 3

-Para x ≥ 0 , temos:

lim x → 0 + ⁡ 3 x + 2 k 2 = 2 k 2

É um limite desses que eu desejo que caia na sua prova !!!

Para descobrirmos o f ( 0 ) , vamos substituir o valor na última equação, onde esse ponto está definido.

f 0 = 2 k 2

Juntando as condições 1 e 2:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f x = f ( 0 )

Assim,

k = 2 k 2

2 k 2 - k = 0

k 2 k - 1 = 0

k = 0   ou k = 1 2

Acabouuuuu !!!

Resposta

1 2

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