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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 55

Encontre o valor médio da função

f (x) = sin^2 ( x ) cos^3 ( x )

No intervalo [- pi , pi] .

Passo 1

Achou que não teria que integrar essa função?! Se enganou rs, a gente pode achar o valor médio dessa função da seguinte maneira

f_m e d i o = (1)/(pi - (- pi)) int_(- pi)^(pi) f (x) d x = (1)/(2 pi) int_(- pi)^(pi) sin^2 ( x ) cos^3 ( x ) d x

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin^2 ( x ) + cos^2 ( x ) = 1

Então, substituindo

f_m e d i o = (1)/(2 pi) int_(- pi)^(pi) sin^2 ( x ) cos^2 ( x ) cos (x) d x = (1)/(2 pi) int_(- pi)^(pi) sin^2 (x) (1 - sin^2 (x)) cos (x) d x

A gente pode resolver esta integral pelo método da substituição, vamos lá?

Seja u = sin (x) , temos que d u = cos (x) d x . Vamos também calcular os novos limites de integração

u_i n f e r i o r = sin (- pi) = 0

u_s u p e r i o r = sin (pi) = 0

Então, substituindo

f_m e d i o = (1)/(2 pi) int_(- pi)^(pi) sin^2 (x) (1 - sin^2 (x)) cos (x) d x = (1)/(2 pi) int_0^0 u^2 (1 - u^2) d u = 0

Resposta

f_m e d i o = 0

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