Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

f(x) = 4x - x^2, [0,4]

Passo 1

Para resolver a questão, vamos lembrar o seguinte: Se f é contínua em [ a , b ] , então existe um número c em [ a , b ] tal que:

f c = f med = 1 b - a ∫ a b f x d x

Vamos aplicar a fórmula na nossa questão no intervalo [ 0,4 ] .

f med = 1 4 - 0 ∫ 0 4 ( 4 x - x 2 ) d x = 1 4 ∫ 0 4 ( 4 x - x 2 ) d x

Passo 2

Temos uma integral definida e sabemos que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F ' = f .

Dessa forma, utilizando a integral ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C         n ≠ - 1 , temos:

f med = 1 4 ∫ 0 4 ( 4 x - x 2 ) d x = 1 4 4 x 2 2 - x 3 3 0 4 = 1 4 4 ( 4 ) 2 2 - ( 4 ) 3 3 - 4 ( 0 ) 2 - ( 0 ) 3 3

f med = 1 4 64 2 - 64 3 = 16 2 - 16 3 = 48 - 32 6 = 16 6 = 8 3

Sendo assim, o valor médio é 8 3 .

Resposta

f med = 8 3

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