Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 70
Encontre o valor do número de tal modo que as famílias das curvas e sejam trajetórias ortogonais.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de sabendo que as duas famílias das curvas
e
têm trajetórias ortogonais.
E trajetórias ortogonais nada mais são do que uma família de curvas que corta uma outra família de curvas de maneira ortogonal (perpendicular).
E veremos isso verificando se as retas tangentes a elas são perpendiculares.
Isso acontece quando o produto entre essas retas os coeficientes angulares das restas é igual a .
Ou melhor dizendo, quando:
Então:
Tá, mas quem são essas retas? Nada mais, nada menos que as derivadas das nossas curvas, certo?
Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada de cada uma das funções, multiplicar esse resultado e igualar a . Como o enunciado já nos garante que elas são ortogonais, essa igualdade é verdade.
Daí, basta isolar na expressão para encontrarmos o valor procurado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de . E pra isso usamos a regra do expoente. Assim, sua derivada será:
Beleza! Agora vamos verificar a derivada de . Usando a mesma regra, teremos:
Tranquilinho, né?
Passo 3
Agora vamos verificar a condição de perpendicularidade.
Como as curvas são ortogonais, o produto das equações deve ser igual a , e temos:
Rearranjando a equação:
Isolando :
Passo 4
Agora como , elevando ao quadrado, temos que:
Da mesma forma, para , temos:
Substituindo isso na expressão que encontramos no passo , vamos ter:
Simplificando:
E isolando , temos:
E esse precisa ser o valor de para atender as condições de perpendicularidade.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉